形。再用红笔点出了E点,分别把它和三个角的连线用绿色笔强调。
“里面的构造和第二问是差不多的,我们可以直接用第二问的结论,BE=BC=BG,BH=CD,角EBD=80-60=20度,角EBH=角BDC-角EBD=20度,BE平分角HBD,由角边角,三角形HEB全等于三角形DGC。”
“角BHE=角GDC=40度,角BHD=角DBC=80度,HE平分角BHD,所以得出E点是三角形BDH的内心,也就是三条角平分线的交点,ED平分角FDG,角EDB=30度。”
“第四个方法是在AC上取点K使得角KBC=20度。连接BK,EK。构建出一堆等腰,这个方法可以说是神来之笔,既简洁又简单。”
“三角形ABC相似于三角形BCK,两个都是等腰三角形,BC=BK=BE,角EBK=角EBC-角KBC=60度,三角形BEK为等边三角形。”
“这时候边的关系我们差不多已经梳理完了,把角标上就可以做出来了。”
“那么角EKD=40度,角BDC=180-60-80=40度,角DBK=80-20-20=40度,BK=DK,三角形DKE是等腰三角形,角EDK=(180-40)/2=70度,角EDB=角EDK-角BDK=70-40=30度。”
“下面的东西就难一点了,要用到数学竞赛的想法,我高中时候是搞计算机竞赛的,数竞的东西了解得不多。”
“第五个方法是做E关于CD的对称点H,连接DH,BH,CH。”
“角DCE=80-50=30度,对称过去之后,EC=CH,角ECD=角DCH=30度,角ECH=60度,也就是说三角形ECH为等边三角形。”
“EH=CH,又有BE=BC,四边形BDHE是筝形,BH平分角EHC,则有角DBH=角EBH-角EBD=80/2-20=20度,角DBE=角DBH,B,E,D,H四点共圆。”
范珏描摹出一个圆弧。
“所以角EDB=角EHB=60/2=30度。”
“第六个方法是做角EBC的角平分线交AC于T,连接ET。”
“这个方法比刚才的方法还要抽象一点,主要想法是构造旁心。”
“角EBT=80/2=40度,角EBD=20度,那么有BD平分角EBT,由于BE=BC,边角边,三角形EBT全等于三角形CBT,角ETB=角BTC=180-40-80=60度,角ETD=80度,那么延长一下就可以知道DT是角ETB的外角平分线,所以说D是三角形BET的旁心。”
范珏描出外角平分线的小圆。
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